Методы построения неограниченных энтропийных решений одномерных законов сохранения

В полосе $\Pi_T=\{(t,\,x)\mid t \in (0,\,T),\ x \in \mathbb{R}\}$, где $0<T\le+\infty$, рассматривается задача Коши
\begin{equation}\label{Cau} u_t+(f(u))_x=0, \ (t,\,x)\in\Pi_T, \qquad u|_{t=0}=u_0(x),\ x\in\mathbb{R}. \end{equation}
Функция потока предполагается гладкой, $f \in C^1(\mathbb{R})$, а начальное условие неограниченным, но при этом локально ограниченным, $u_0\in L^\infty_\mathrm{loc}(\mathbb{R})$.
В докладе будут рассматриваться методы построения кусочно гладких обобщенных энтропийных решений задачи \eqref{Cau}.
В первой части доклада нас будут интересовать случаи степенной функции потока, $f(u)=\frac {1}{\alpha}|u|^{\alpha-1}u,$ $\alpha>1,$ и степенных, $u_{0}(x)=|x|^{\beta},$ или экспоненциальных, $u_{0}(x)=\exp(-x)$, начальных условий. Решения задачи Коши \eqref{Cau} строится, используя наличие у этой задачи группы симметрии. Симметрия позволяет исходное уравнение с частными производными свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. При этом мы позволяем решениям ОДУ быть разрывными, задавая в точках разрыва определенные соотношения, которые вытекают из определения обобщенного энтропийного решения. Указанный подход к построению решений задач такого вида предложен Е. Ю. Пановым.
Во второй части доклада будет рассматриваться нечетная функция потока с единственной точкой перегиба в нуле. Будет предложен способ построения разрывных знакопеременных энтропийных решений задачи \eqref{Cau}, основанный на преобразовании Лежандра.
Доклад основан на статьях.

• А. Ю. Горицкий, Л. В. Гаргянц, “О неединственности неограниченных решений задачи Коши для скалярных законов сохранения”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 32, Издательство Московского университета, М., 2019, 111–133.
• Л. В. Гаргянц, А. Ю. Горицкий, Е. Ю. Панов, “Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра”, Матем. сб., 212:4 (2021), 29–44.