Интегрируемые системы и обобщенные биллиарды: классификация и топологическое моделирование

В 2017-2020 годах А.А.Глуцюком, В.Ю.Калошиным и А.Соррентино, А.Е.Мироновым и М.Бялым были доказаны несколько вариаций гипотезы Биркгофа – критерия интегрируемости классических биллиардов. Как оказалось, принадлежность гладких дуг границы стола – софокусным квадрикам – не только достаточное, но и необходимое условие наличия у системы полиномиального по импульсам первого интеграла. По модулю этого, вопрос о топологии таких плоских биллиардов, т.е. об описании особенностей и инвариантов Фоменко-Цишанга слоения Лиувилля на фазовом пространстве (совместных уровней энергии и доп.интеграла - параметра каустики как квадрики из софокусного семейства) казался бы решенным в работах В.Драговича, М.Раднович и ранних работах В.В.Ведюшкиной (Фокичевой) 2010-2014 года. Как оказалось, предложенная В.В.Ведюшкиной конструкция биллиардной книжки – склейка кусочно-плоского стола-комплекса с перестановками на ребрах (из нескольких плоских софокусных областей) принципиально расширяет не только множество самих столов с комбинаторной точки зрения, но и множество возникающих в биллиардах особенностей и топологических инвариантов слоений. В ряде недавних 2018-2021 работ А.Т.Фоменко, В.В.Ведюшкиной, ее студентов и докладчика удалось показать, что верен ряд положений общей гипотезы А.Т.Фоменко о реализации интегрируемых систем биллиардами с точки зрения топологии их слоений Лиувилля – замыканий почти всех фазовых траекторий. В докладе будет сделан обзор достигнутых результатов, а также показан пример нахождения инварианта биллиарда. В отличие от общего случая интегрируемых систем, в софокусных биллиардах этот процесс допускает алгоритмизацию, гарантированное решение, и при этом вполне нагляден: как и проекция слоев из фазового пространства на конфигурационное – стол-комплекс – и далее на плоскость.

ВАЖНО! Ваш логин в Zoom должен содержать ваше ФИО (или хотя бы ИО). Если это не так, после подключения к конференции необходимо нажать "участники" на нижней панели, после этого навести курсор на своё имя и нажать "дополнительно"->"переименовать".