Аннотация:
Самоподобные замощения (тайлинги) пространства широко изучались в литературе по геометрии, комбинаторике, теории приближений, гармоническому анализу, и т.д. Тайлом называется компактное множество $G\subset \mathbb{R}^d$ лебеговой меры $1$, задающееся следующим образом:
$$
G \qquad = \qquad \Bigl\{\quad \sum_{k=1}^{\infty}M^{-k}a_k \quad \Bigl| \quad a_k \in D\, ,\ k \in \mathbb{N} \ \Bigr\},
$$
где $M$ – целая рястягивающая (имеющая все собственные значения вне единичного круга)
$d\times d$ матрица, $D\subset \mathbb{Z}^d$ – множество “цифр”, содержащее $m = |{\rm det}\, M|$ векторов из различных классов $\mathbb{Z}^d/M\mathbb{Z}^d$. Таким образом, тайл является аналогом единичного отрезка в $M$-ичной системе на $\mathbb{R}^d$. Это множество самоподобно, его целые сдвиги
задают разбиение $\mathbb{R}^d$. Случай $m=2$ (двухциферные тайлы) наиболее важен в приложениях.
Мы приводим полную классификацию таких тайлов в случае изотропной матрицы $M$, а в общем случае сводим задачу к нахождению всех растягивающих (имеющих корни вне единичного круга) целых полиномов со старшим коэффициентом $1$ и свободным коэффициентом $\pm 2$. Количество таких полиномов степени $d$ оценивается снизу как $\frac{1}{16}d^2 + O(d)$, а сверху – как $2^{d+\varepsilon}$. Нижняя оценка получена построением конкретных серий полиномов, а верхняя – с помощью результатов Дубицкаса-Конягина о количестве целых полиномов с ограниченной мерой Малера. Будет продемонстрированы численные результаты и сформулирован ряд открытых проблем.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000
Обратная связь: