Анизотропное спиновое обобщение эллиптических операторов Макдональда-Руйсенаарса и $R$-матричные тождества

Мы рассмотрим набор коммутирующих матрично-значных дифференциальных операторов, построенных с помощью эллиптической $R$-матрицы Бакстера-Белавина в фундаментальном представленнии $\mathrm{GL}_M$. В скалярном случае $M=1$ эти операторы совпадают c эллиптическими операторами Макдональда-Руйсенаарса, а в общем случае могут рассматриваться как гамильтонианы анизотропной квантовой спиновой модели Руйсенаарса. Для скалярного случая Руйсенаарс доказал, что эти операторы, написанные с произвольной функцией, коммутриуют тогда и только тогда, когда выполняется система функциональных уравнений. Этой системе удовлетворяет эллиптическая функции Кронекера (и соответствующие тригонометрические и рациональные вырождения). В случае произвольного $M$ коммутативность построенных спиновых операторов равносильна выполению набора нетривиальных $R$-матричных тождеств. Рассказ основан на совместной работе с Андреем Зотовым arXiv:2201.05944.