Отношение $R$-эквивалентности Манина на точках многообразий и групп

Назовем точки $x$ и $y$ алгебраического многообразия $X$ $R$-эквивалентными, если существует набор точек $x=x_1,x_2,\ldots,x_n=y$ на $X$, таких что каждые две последовательные точки лежат в образе некоторого отображения $f\colon U\to X$, где $U$ — открытое подмножество аффинной прямой. Это отношение было впервые определено Юрием Маниным в его книге “Кубические формы”. Оказалось, что соответствующее множество классов $R$-эквивалентности $X(k)/R$ точек $X$ является замечательным инвариантом многообразий и позволяет решать самые разные задачи. Например, пользуясь этим понятием можно доказать, что полная линейная группа $GL_n(H)$ обратимых матриц с коэффициентами в кватернионах порождается (аналогично обычной полной линейной группе) вещественными скалярами и матрицами преобразований I рода.
Одна из известных задач об $R$-эквивалентности — проблема специализации: как связаны множества классов $R$-эквивалентности для многообразий, параметризованных гладкой кривой, в общей точке этой кривой и в специальной точке? Оказывается, что если считать кривую бесконечно малой, то между соответствующими множествами есть каноническая биекция. Янош Коллар (2004) доказал это для гладких проективных многообразий, а Филипп Жиль совместно с докладчицей — для простых алгебраических групп.