Топологические фазы в физике твердого тела

Доклад посвящен теории топологических фаз, в основе которой лежит гомотопический подход к исследованию свойств твердых тел. Нетривиальным примером топологических фаз могут служить топологические диэлектрики.
Обозначим через $H$ гамильтониан, описывающий твердое тело, и через $G$ его группу симметрии. Рассмотрим далее множество $\text{Ham}_G$ классов гомотопической эквивалентности $G$-симметричных гамильтонианов с нулевым ядром. На этом множестве можно ввести естественную операцию сложения, относительно которой $\text{Ham}_G$ является абелевой полугруппой с нулевым элементом. Группа обратимых элементов этой полугруппы и называется топологической фазой.
Оказывается, что семейство $(F_d)$ $d$-мерных топологических фаз образует $\Omega$-спектр. Так называется набор топологических пространств $F_d$, обладающих тем свойством, что пространство петель $\Omega F_{d+1}$ гомотопически эквивалентно пространству $F_d$. Это открывает путь к широкому использованию достижений алгебраической топологии для исследования топологических фаз. Более конкретно, каждому $\Omega$-спектру отвечает обобщенная теория когомологий, задаваемая функтором $h^d$, сопоставляющим топологическому пространству $X$ множество $[X,F_d]$ классов гомотопической эквивалентности отображений $X\to F_d$. Пространства $[X,F_d]$ подробно исследованы в алгебраической топологии, что дает надежду на получение полной топологической классификации топологических фаз.