Интегрируемые гамильтоновы системы: геометрический подход

В конце прошлого века А. Т. Фоменко, а также его учениками и коллегами, была построена теория топологической классификации интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем, позволяющая исследовать многие качественные свойства этих систем, не прибегая к аналитическим решениям (которые в большинстве случаев даже не удаётся явно выписать). В основе теории лежит тот факт, что с каждой «достаточно хорошей» интегрируемой системой связан естественный геометрический объект – так называемое слоение Лиувилля, слоями которого являются замыкания интегральных траекторий общего положения. Это слоение не несёт в себе полной информации о динамике системы, однако его топологическая структура «помнит» основные качественные свойства системы (например, устойчивость особых траекторий). Таким образом, непростая задача исследования точных решений системы заменяется на более грубую и более простую задачу описания топологии её слоения Лиувилля, чего оказывается вполне достаточно для качественного анализа системы. В ходе доклада планируется сделать обзор основных идей и методов теории топологической классификации, построенной школой А. Т. Фоменко, а также рассказать о некоторых её приложениях, в частности, результатах докладчика.