Frobenius splitting и его приложения

Свойство расщепления эндоморфизма Фробениуса (Frobenius splitting) для алгебраических многообразий в характеристике $p>0$ определили V. Mehta и A. Ramanathan (1985): многообразие $X$ расщепимо, если эндоморфизм Фробениуса
$$ F\colon O_X\to O_X, \qquad F(f)=f^p, $$
имеет левое обратное отображение $s$ со свойством $s(f^p*h)=f*s(h)$. Несмотря на свою чисто алгебраическую природу, Frobenius splitting имеет глубокие геометрические следствия. Для проективных многообразий они основаны на обращении в $0$ высших когомологии обильных расслоений. В ряде ситуаций это позволяет доказывать проективную нормальность и строить рациональные разрешения особенностей расщепимых многообразий. Хотя Frobenius splitting непосредственно работает в положительной характеристике, стандартная техника алгебраической геометрии (редукция в характеристику $p$) позволяет переносить результаты в характеристику $0$.
Хотя многообразия общего вида нерасщепимы, специальные многообразия, возникающие в теории алгебраических групп (многообразия флагов, многообразия Шуберта, торические и сферические многообразия) оказываются расщепимыми. Техника Frobenius splitting позволяет, например, доказать проективную нормальность и рациональность особенностей многообразий Шуберта и гипотезу трех индусов (Parthasarathy, Ranga Rao, Varadarajan) об «экстремальных» компонентах в разложениях тензорных произведений, получить формулу характеров для модулей Демазюра. В докладе будет дан обзор этих результатов.