Аннотация:
Точно так же, как понятия непрерывного отображения и нерастягивающего отображения приводят к топологиям и метрикам на множествах, промежуточное между ними понятие равномерно непрерывного отображения
приводит к промежуточному типу структур на множествах — равномерностям. Одна из ситуаций, в которой равномерности оказываются полезнее топологий, возникает при использовании таких конструкций, как конус, джойн и цилиндр отображения. Если эти конструкции наделять фактортопологией, то они ведут себя странно и, в частности, немедленно выводят из класса метризуемых пространств. Например, конус над прямой, наделённый фактортопологией, неметризуем — хотя "обычный" конус над прямой, определённый как подпространство плоскости (т.е. объединение всех отрезков с началом на заданной прямой и с концом в заданной точке вне этой прямой), очевидно, метризуем. Поэтому при содержательной работе с подобными конструкциями их часто приходится снабжать другой, "сильной", топологией, определяемой обычно с помощью явных метрик. Например, Милнор в своей конструкции классифицирующего пространства $BG=(G*G*\dots)/G$ использовал на джойнах (как конечных, так и бесконечных) "сильную" топологию, а не фактортопологию. Другой пример — теорема Стрёма о том, что обычная гомотопическая категория (объекты — топологические пространства, морфизмы — гомотопические классы отображений) является гомотопической категорией в смысле Квиллена (относительно некоторой модельной структуры); в доказательстве этой теоремы используется цилиндр отображения с "сильной" топологией, а не фактортопологией. Как показал Мелихов, "сильная" топология конуса, джойна и цилиндра отображения — не что иное, как топология факторравномерности, причём последняя корректно определена (т.е. не зависит от выбора метрик на исходных пространствах) в этих трёх ситуациях. Случай конуса будет разобран в докладе.
А в каких ещё конструкциях вместо фактортопологии можно и нужно использовать топологию факторравномерности? Чтобы дать исчерпывающий ответ на этот неформальный вопрос, хотелось бы для начала иметь некоторую обозримую характеризацию ситуаций, в которых переход к факторравномерности не ведёт к потере метризуемости. Двигаясь в этом направлении, мы начнём с конструкции "факторметрики" — некоторой стандартной метрики на заданном фактормножестве метрического пространства, и леммы Марксена о том, что если факторравномерность метризуема, то она всегда задаётся факторметрикой некоторой метрики, представляющей заданную равномерность.
Будет подробно разобран пример Вилимовского неметризуемой факторравномерности. Также планируется обсудить некоторые дальнейшие примеры и утверждения.
Подключение к Zoom (новая ссылка!): https://mi-ras-ru.zoom.us/j/91599052030 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
Обратная связь: