Сложность аппроксимации случайных полей тензорного типа

Так называемые многомерные непрерывные задачи определяются на пространствах функций $d$ переменных, где параметр $d$ может быть сколь угодно большим. Примерами здесь могут выступить всевозможные задачи оптимизации, приближения многомерных интегралов, аппроксимации функций определенного класса и т.д., как правило, они решаются численно с некоторым порогом $\varepsilon$.
Под сложностью понимают минимальное количество $n(\varepsilon,d)$ операций, необходимых для решения $d$-мерной задачи c порогом $\varepsilon$. Вид зависимости $n(\varepsilon,d)$ от своих параметров, определяя разрешимость той или иной задачи, представляет основной интерес в этой области исследования.
В качестве примера рассмотрим асимптотическое поведение сложности аппроксимации случайного поля тензорного типа:
$$ X_d(t)=\sum_{k \in N^d}\prod_{l=1}^d\lambda (k_l)\xi_k\prod_{l=1}^d\varphi (t_{k_l}), $$
$(\varphi_i)_{i\in N}$ — ортонормированная система в $L_2[0,1]$, $(\lambda (i))_{i\in N}\in l_2$, $\xi_k $ — некоррелированные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией.
Также приведем две постановки такой задачи.