О последовательности $n! \mod p$

Мы поговорим о поведении последовательности $n! \mod p.$ Применение принципа Дирихле показывает, что числа $1!, 2!, \dots, p!$ дают не менее $\sqrt{p-1}$ различных остатков при делении на $p.$ Наилучшая на сегодняшний день нижняя оценка принадлежит Гарсии: найдется не менее $(\sqrt{41/24} + o(1))\sqrt{p}$ различных остатков. Нами будет рассмотрен аналогичный вопрос на отрезках длины $N = o(p).$ Гараев и Эрнандес показали, что при $p^{1/2 + \varepsilon} < N \ll p$ количество различных факториалов на отрезке длины $N$ не меньше, чем $c(\varepsilon)\sqrt{N}\sqrt{\ln{(p/N)}}.$ Мы покажем, в частности, что при $N > p^{7/8 + \varepsilon}$ верна нижняя оценка $(1/\sqrt{2}+o(1))\sqrt{p}.$
Это совместная работа с Алексеем Василевским, Александром Гребенниковым, и Арсением Сагдеевым.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000