Обобщение коскобки Тураева, минимальный индекс самопересечения кривой на поверхности и виртуальные струны

В. Г. Тураев ввел понятие коскобки Ли $D$ на свободном $\mathbb{Z}$-модуле, порожденном множеством свободных изотопических классов петель на поверхности. Он также предположил, что $D(A)=0$ тогда и только тогда, когда $A$ является степенью примитивного класса. Час опровергла эту гипотезу, построив контрпримеры. Мы введем на $\mathbb{Z}$-модуле операцию $M$, в духе пуассоновой алгебры хордовых диаграмм Андерсена-Маттеса-Решетихина. $M$ можно рассматривать как обобщение коскобки Тураева $D$. Мы покажем, что для $M$ выполняется вышеупомянутая гипотеза Тураева. Вместе операции $M$ и $D$ дают нижние оценки на минимальное число точек самопересечения для свободного гомотопического класса. Примеры Час показывают, что нижняя граница для числа точек, полученная с помощью коскобки $D$, не задается условием типа равенства. Мы докажем, что оценка, полученная с помощью $M$, задается, и, таким образом, $M$ дает точную формулу для вычисления минимального числа самопересечений. В конце доклада мы рассмотрим аналогичную задачу для виртуальных струн. Тураев определил коскобку$D$ в случае виртуальных струн, и операцию $M$ также можно перенести на этот случай. Мы покажем, что оценка на минимальное число самопересечений виртуальной струны, получаемая с помощью коскобки $D$, слабее оценки, даваемой $M$. Также мы покажем, что последняя не хуже, чем оценка с помощью матричного инварианта Тураева.