О классификации и примыканиях орбит линейных отображений пространств со скалярным умножением

Под пространством со скалярным умножением понимается векторное пространство, снабжённое невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формой, именуемой скалярным умножением. (Другими словами, пространство со скалярным умножением — это либо квадратичное, либо симплектическое пространство.) Под автоморфизмом пространства со скалярным умножением понимается невырожденное линейное преобразование, сохраняющее скалярное умножение (т. е. ортогональное или симплектическое преобразование). С помощью заданного скалярного умножения векторное пространство отождествляется со своим двойственным.
Пусть $U$ и $V$ — два пространства со скалярным умножением над полем характеристики, отличной от двух. В докладе будет рассмотрено естественное действие группы $\mathrm{Aut}(U)\times \mathrm{Aut}(V)$ на пространстве $\mathrm{L}(U,V)$ линейных отображений из $U$ в $V$. Описание орбит этого действия сводится к случаям биективного и нильпотентного отображений (по определению, отображение $A$ нильпотентно, если $A^*A$ — нильпотентный оператор на $U$) путём разложения произвольного отображения в их прямую сумму. Классификация биективных отображений пространств со скалярным умножением сводится к классификации пар билинейных форм, каждая из которых либо симметрическая, либо кососимметрическая. Орбиты нильпотентных отображений описываются в комбинаторных терминах, аналогичных диаграммам Юнга; описание будет дано в докладе.
Планируется разобрать и сравнить некоторые результаты классификаций Ohta и Kraft–Procesi в данной области (над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики) с результатами автора. Ohta в своей работе рассматривает случай, когда оба пространства $U$ и $V$ квадратичные или оба симплектические. А в работе Kraft–Procesi рассматривается случай, когда одно из пространств квадратичное, а другое симплектическое. Kraft–Procesi и Ohta дают классификацию орбит нильпотентных элементов в терминах ab-диаграмм — это некоторый аналог диаграмм Юнга для классификации нильпотентных пар отображений $(A,B) \in \mathrm{L}(U,V) \times \mathrm{L}(V,U)$.
В случае алгебраически замкнутого поля можно говорить о примыкании орбит в топологии Зарисского: орбита $O$ примыкает к орбите $O'$, если замыкание $O$ содержит $O'$. Примыканию соответствует частичный порядок на множестве комбинаторных инвариантов орбит, который будет описан в докладе.