О некоторых геометрических задачах аддитивной комбинаторики

Мы рассмотрим несколько вопросов комбинаторной теории чисел, например, задачу об удвоении выпуклого множества, в которых оказываются полезными геометрические соображения. Выпуклое множество целых чисел — это последовательность $A =\{a_1<a_2<\dotsb\}$ такая, что ее последовательные разности $(a_{i+1}-a_i)$ возрастают. С помощью замечательной теоремы Семереди–Трёттера об инциденциях в системах точек и псевдокривых будет показано, что для любого выпуклого множества выполнено $|A+A|\geqslant |A|^{3/2}$. Также мы обсудим несколько аналогичных вопросов на плоскости $(\mathbb Z/p\mathbb Z)\times(\mathbb Z/p\mathbb Z)$.