Волновое уравнение на простейших декорированных графах

Существует множество работ, посвященных теории дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений на плоских метрических графах. Вполне естественным продолжением этой теории является ее развитие на случай декорированных графов, т.е. объектов, полученных из плоских графов заменой их вершин на гладкие многообразия. Такими объектами, в частности, можно моделировать простейшие организмы или транспортные потоки. Один из подходов к определению дифференциальных операторов на декорированных графах использует теорию самосопряженных расширений и основан на двух идеях: 1. ограничение дифференциального оператора на каждую составляющую декорированного графа (многообразие или ребро) должно совпадать со стандартным соответствующим оператором на данной составляющей; 2. оператор на всем декорированном графе должен быть самосопряженным. В действительности, чтобы добиться самосопряженности, необходимо правильным образом определить граничные условия в точках склейки (точках, в которых ребро приклеивается к многообразию). В каждой точке склейки эти условия могут быть заданы с помощью унитарной матрицы.
Поскольку граничные условия в каждой точке склейки задаются независимо и не связаны со структурой всего декорированного графа, то при изучении дифференциальных уравнений на данных объектах имеет смысл для начала рассмотреть простейший декорированный граф, т.е. образованный приклейкой луча к гладкому многообразию. Это, в частности, позволит исследовать ситуацию локально в окрестности точки склейки и проанализировать зависимость решения от типа многообразия. В докладе будет рассматриваться задача Коши для волнового уравнения на простейших декорированных графах с трехмерным евклидовым пространством и трехмерной сферой. При этом мы рассмотрим как случай постоянной скорости, так и произвольной, а также обсудим, как меняется решение в зависимости от того, локализованы ли начальные условия на луче, или на поверхности. Отметим также, что с глобальной точки зрения, ввиду компактности сферы, структура решения и распределение энергии волны на декорированном графе с трехмерной сферой отличается от ситуации, когда рассматривается простейший декорированный граф с трехмерным евклидовым пространством.
Доклад основан на совместных работах с А.И. Шафаревичем.