Интегрируемые биллиарды, их топология и алгебра: новые результаты и открытые задачи

Недавно были доказаны несколько версий знаменитой гипотезы Биркгофа о биллиардах. Для многих классов биллиардов, опуская некоторые детали, множество "интегрируемых биллиардов" (почти) совпадает множеством "софокусных биллиардов", т.е. биллиардных систем, чьи столы ограничены дугами квадрик с общими фокусами.
Класс рассматриваемых интегрируемых биллиардов можно расширить, например, вводя разнообразные потенциалы, меняя метрику и.т.п. Принципиально же новым оказался предложенный В.Ведюшкиной подход построения "биллиардной книжки" – двумерного стола-комплекса. Его 2-клетки, т.е. "листы книжки" – это плоские софокусные столы, а его 1-клетки, "корешки книжки", оснащены перестановками, задающими динамику шара при переходе с листа на лист. Этот класс наследует интегрируемость плоских софокусных биллиардов, а непрерывность закона движения шара следует из коммутирования перестановок при каждой 0-клетке. Иначе говоря, он весьма близок к классу плоских софокусных биллиардов (допуская аналогичные обобщения потенциалами и.т.п.) из гипотезы Биркгофа, но существенно обширнее. Установить его точные "границы" – весьма непростая и естественная задача.
Гипотеза А.Т.Фоменко о биллиардах ставит вопрос о "топологическом" сравнении класса интегрируемых биллиардов и класса интегрируемых гамильтоновых систем (ИГС): верно ли, что относительно послойной гомеоморфности их слоений они совпадают? Т.е. верно ли, что любое слоение Лиувилля ИГС в неособой зоне энергии реализуется биллиардом? Получен ряд продвижений (реализованы все компоненты классифицирующего инварианта Фоменко–Цишанга – графа с типами особенностей и числовыми метками, все возможные базы слоения Лиувилля ИГС на 3-уровне энергии и, например, многообразия Вальдхаузена, но не Зейферта). Ответ на общую гипотезу пока неясен. Отметим, что вычисление инварианта биллиарда не требует решения систем алгебраических уравнений или интегрирования, т.е. вообще говоря, допускает алгоритмическое решение. Кроме того, такие системы весьма наглядны, и ими удалось промоделировать слоения многих известных ИГС из геометрии, механики и математической физики.
Основное внимание мы уделим нескольким конкретным задачам, продвижения в которых, вероятно, позволят существенно прояснить названные выше общие вопросы. В первую очередь, речь о классификации биллиардных книжек и их важных серий (т.е. задаче о системах коммутирующих перестановок), о вычислении инвариантов для книжек, содержащих фокусы квадрик, а также "локальном" аналоге гипотезы Фоменко – реализации слоений в окрестности ребра или семьи (многообразии Зейферта с доп. условиями). Будут рассказаны недавние результаты докладчиков по этим вопросам.