Банаховы пределы, сингулярные следы и их приложения. Banach limits, singular traces and their applications.

В 1929 г. С. Мазур анонсировал существование некоторого специального класса функционалов (более точно – положительных, нормированных, инвариантных относительно сдвига) на пространстве ограниченных последовательностей. Доказательство их существования было приведено
в книге С. Банаха 1931 г. как следствие теоремы Хана-Банаха. Впоследствии такие функционалы были названы банаховыми пределами. В 1948 году Г. Г. Лоренц ввел в рассмотрение специальное подмножество ограниченных последовательностей, на которых все банаховы пределы совпадают. Следуя Лоренцу, такие последовательности называют почти сходящимися. Понятие почти сходимости естественным образом определяет метод суммирования. Таким образом, банаховы пределы являются средством описания асимптотического поведения ограниченных, но расходящихся последовательностей.
С тех пор банаховы пределы нашли свое применение в различных областях математики, таких как эргодическая теория, выпуклая геометрия, теория чисел и другие. Особый интерес представляет использование банаховых пределов в теории сингулярных следов.
В 1960 г. Ж. Диксмье построил первый пример сингулярного следа на некотором идеале в алгебре $B(H)$ ограниченных линейных операторов на бесконечномерном гильбертовом пространстве $H$. В конце 1980-х А. Конн использовал следы Диксмье для конструкции интеграла в контексте его некоммутативной геометрии. За последние 30 лет изучение сингулярных следов оформилось в отдельную область исследования с приложениями в различных областях математики.
Доклад посвящен различным свойствам множества банаховых пределов и его подмножеств; различным конструкциям сингулярных следов, их связи между собой и с банаховыми пределами; приложениям банаховых пределов к исследованию асимптотики коэффициентов Фурье-Хаара и следов к некоторым классам операторов.
In 1929 S. Mazur announced the existence of a certain special class of functionals (more precisely, positive, normalized, translation invariant) on the space of bounded sequences. Proof of their existence has been given
in S. Banach's 1931 book as a consequence of the Hahn-Banach theorem. Subsequently, such functionals were called Banach limits. In 1948, G.G. Lorentz introduced into consideration a special subset of bounded sequences on which all Banach limits coincide. Following Lorentz, such sequences are called almost convergent. The concept of almost convergence naturally defines the summation method. Thus, Banach limits are means of describing the asymptotic behavior of bounded but diverging sequences.
Since then, Banach limits have found their application in various areas of mathematics, such as ergodic theory, convex geometry, number theory, and others. Of particular interest is the use of Banach limits in the theory of singular traces. In 1960, J. Dixmier constructed the first example of a singular trace on some ideal in the algebra $ B (H) $ of bounded linear operators on an infinite-dimensional Hilbert space $ H $. In the late 1980s, A. Connes used Dixmier traces to construct an integral in the context of its non-commutative geometry. Over the past 30 years, the study of singular traces has developed into a separate area of research with applications in various areas of mathematics. The talk is devoted to various properties of the set of Banach limits and its subsets; various designs of singular traces, their relationship with each other and with Banach limits; applications of Banach limits to the study of the asymptotics of the Fourier-Haar coefficients and traces to certain classes of operators.