Полукруговой закон для спектра обобщенных случайных графов

Мы рассматриваем обобщенные случайные графы с вероятностью $p_{jk}$ наличия ребра между вершинам $j$ и $k$ и весами $X_{jk}$, $j,k=1,\ldots,n$. Будем считать, что $\mathbf E X_{jk}=0$ и $\mathbf E X_{jk}^2=1$. Введем в рассмотрение величины $a_n=\frac1n\sum_{j,k=1}^np_{jk}$ - среднее число ребер, исходящих из одной вершины. Определим матрицу
$$ \mathbf W=\frac1{a_n}(\xi_{jk}X_{jk})_{j,k=1}^n,$$

где $\xi_{jk}$ - бернуллиевские случайные величины с $\mathbf E\xi_{jk}=p_{ljk}$, не зависящие от семейства случайных величин $X_{lm}$ c $l, m=1,\ldots,n$. Обозначим $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ собственные числа матрицы $\mathbf X$ и определим эмпирическую спектральную функцию распределения равенством $F_n(x)=\frac1n\sum_{j=1}^n\mathbb I\{\lambda_j<x\}$, где $\mathbb I\{A\}$ означает индикатор события $A$.
Мы покажем, что если выполнены условия

• $a_n\to\infty,\text{ при } n\to\infty$;
• $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^n\big|\frac1{a_n}\sum_{k=1}^np_{jk}-1\big|=0;$
• Существует постоянная $C>0$ такая, что $\sup_{n\ge1}\max_{1\le j\le n}\frac1{a_n}\sum_{k=1}^np_{jk}\le C$;
• $\lim_{M\to\infty}\mathbf E X_{jk}^2\mathbb I\{|X_{jk}|>M\}=0$,

то
$$ \lim_{n\to\infty}F_n(x)=G(x), $$
где $G(x)$ - функция распределения полукругового закона с плотностью $g(x)=\frac1{2\pi}\sqrt{4-x^2}\mathbb I\{|x|\le 2\}$.