Геометрия и арифметика дискретных групп в пространствах Лобачевского

Примерно в 1970-х гг. Г.А. Маргулисом были получены знаменитые результаты о супержесткости и арифметичности, согласно которым всякая дискретная подгруппа конечного кообъема по мере Хаара в полупростой группе Ли вещественного ранга > 1 является арифметической, то есть, грубо говоря, соизмерима с группой целых O_k-точек какой-то алгебраической группы над вполне вещественным полем k алгебраических чисел. Классические примеры арифметических групп — модулярная группа Клейна PSL(2,Z), группы вида SL(n,Z), SO(p,q, Z) или SO(f, O_k), где f — неопределенная невырожденная квадратичная форма над кольцом целых O_k вполне вещественного поля k < R. В пространстве Лобачевского теоремы Маргулиса об арифметичности не применимы и даже неверны, в силу чего возникает богатая и разнообразная теория арифметических и неарифметических групп, а также гиперболических многообразий и орбифолдов. В частности, очень интересным и красивым подклассом групп оказались дискретные группы, порожденные отражениями, общую теорию для которых успешно развивал Э.Б. Винберг, начиная с 1967 года. В своем докладе я дам обзор этой области и постараюсь рассказать про серию результатов (в том числе и недавних, полученных мною в соавторстве с А. Колпаковым, а также с М. Белолипецким и Л. Славичем), связывающих арифметику и теорию групп с геометрией и топологией в пространствах Лобачевского. В частности, один из наших результатов дает новый критерий арифметичности гиперболических многообразий и орбифолдов конечного объема в терминах вполне геодезических подпространств, имеющих простое и удобное алгебраическое описание. В контексте этого критерия арифметичности мы обсудим интересные примеры, взятые из теории групп отражений, гиперболической теории узлов, а также из серии неарифметических "гибридов", построенных Громовым и Пятецким-Шапиро.