Квазиклассическое приближение в задаче о построении асимптотик совместно ортогональных полиномов Эрмита

Рассматриваются совместно ортогональные полиномы Эрмита $H_{n,k}(z,\alpha)$ с двумя индексами $n$ и $k$. Они могут быть определены с помощью рекуррентных соотношений, а также как решения дифференциального уравнения третьего порядка. Обсуждается подход к построению асимптотик полиномов при больших индексах, основанный на квазиклассическом приближении.
Рекуррентные соотношения приводят к разностному уравнению, которое можно свести к псевдодифференциальному. Особенность и основная сложность задачи заключается в том, что символ соответствующего псевдодифференциального оператора комплекснозначный. В диагональном случае, когда индексы $n$ и $k$ полинома совпадают, предложенный нами подход позволяет разбить полученное уравнение на три, каждое из которых имеет вещественный символ. Это дает возможность с помощью канонического оператора Маслова построить глобальную равномерную асимптотику полиномов $H_{n,n}(z,\alpha)$ в виде функции Эйри $\operatorname{Ai}$ и ее производной, представляющую собой обобщение формулы Планшереля–Ротаха для обыкновенных полиномов Эрмита.
Применение подобного подхода к рекуррентным соотношениям в недиагональном случае, т.е. когда индексы различны, приводит к двумерной задаче, что влечет за собой дополнительные трудности, поэтому исследование в этом направлении (построение асимптотик, опираясь на рекуррентные соотношения) еще не завершено. С другой стороны, полиномы удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка, символ которого, однако, также комплекснозначен. Но применение обсуждаемого подхода к этому уравнению позволяет построить асимптотику и в случае, когда индексы полинома различны. Исходную задачу можно свести к уравнению Шредингера с вещественным потенциалом, что дает возможность получить глобальную асимптотику $H_{n,k}(z,\alpha)$ в виде функции Эйри сложного аргумента.
Доклад основан на совместной работе с А. И. Аптекаревым и Д. Н. Туляковым.