О $\Phi$-неравенствах Мазьи

Я расскажу о необычном способе поправить предельный (неверный) случай неравенства Харди—Литтлвуда—Соболева. Обычно, чтобы неравенство ХЛС стало верным, на функцию, к которой применяют оператор Рисса, накладывают дополнительные линейные условия (например, что оная функция — чей-то градиент). Получающиеся неравенства принято называть неравенствами Бургейна—Брезиса. В 2010 году Мазья предложил другой подход: заменить $L_p$-норму в левой части неравенства (в образе оператора) на выражение $\Phi$, обладающее теми же свойствами однородности, но при этом также обладающее дополнительными свойствами сокращения. Им была высказана гипотеза, что при выполнении некоторого естественного необходимого условия на функцию $\Phi$, модифицированное неравенство ХЛС будет верным. Я постараюсь осветить доказательство гипотезы Мазьи. Доклад основан на работе https://arxiv.org/abs/2109.08014