Операторы "квазидифференцирования" на $Ugl_n$ и метод сдвига аргумента

Метод сдвига аргумента - один из наиболее продуктивных и простых в использовании методов построения коммутативных семейств в пуассоновых алгебрах. Немного злоупотребляя терминологией, можно сказать, что он состоит в сдвиге функций Казимира (элементов центра пуассоновой алгебры) в направлении векторного поля, удовлетворяющего определённому условию, часто называемому "уравнением Ниенхёйса".
В нашем докладе мы расскажем об одной конструкции, которая, гипотетически, позволяет перенести на универсальную обертывающую алгебру (прежде всего, алгебры $gl_n$) этот способ построения коммутирующих семейств. Способ основан на использовании введенных ранее Сапоновым и Гуревичем операций "квазидифференцирования" на $Ugl_n$. Мы расскажем о построении этих операций, их связях с другими операциями на универсальной обертывающей алгебре и с деформационным квантованием функций на кокасательном расслоении на группе Ли (что позволяет распространить их на другие алгебры Ли), а также с центром групповой алгебры группы перестановок. Кроме того, мы опишем прямые вычисления, показывающий, что гипотеза о возможности порождать коммутативную подалгебры при помощи квазидифференцирований выполняется во многих случаях. В частности, мы докажем формулу, описывающую результат однократно го применения квазидифференцирования к элементам центра, из которой можно сделать вывод, что "первые квазипроизводнве произвольной пары элементов центра универсальной обертывающей алгебры коммутируют между собой".
Рассказ будет основан на результатах, полученных докладчиками совместно; он будет проходить на русском (ГШ) и английском (ИЯ) языке.