Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла

Понятие "система Морса-Смейла" появилось в теории динамических систем после выхода работы С. Смейла "On gradient dynamical system // Ann. Math. 74, 1961, P.199-206". Он ввел класс потоков на многообразиях произвольной размерности, копирующих свойства грубых потоков на плоскости, описанных в 1937 году А. Андроновым и Л. Понтрягиным. Для введенных потоков С. Смейл доказал справедливость неравенств, подобных неравенствам Морса для невырожденных функций, после чего такие потоки стали называть потоками Морса-Смейла. С. Смейл считал крайне важным изучение таких потоков, поскольку предполагал, что, по аналогии с грубыми потоками на плоскости, потоки Морса-Смейла исчерпывают класс структурно устойчивых потоков на многообразиях и плотны в множестве всех потоков. К счастью оказалось, что многомерный структурно устойчивый мир значительно шире, а системы Морса-Смейла представляют лишь его регулярную часть – структурно устойчивые системы с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа орбит. Благодаря тесной связи систем Морса-Смейла с несущим многообразием, различные топологические объекты, в том числе и дикие, реализуются, как инвариантные подмножества таких систем. Это приводит к большому разнообразию систем Морса-Смейла (особенно на многомерных многообразиях) и, соответственно, усложняет их топологическую классификацию. В рамках доклада будет описана реализация различных топологических конструкций инвариантными множествами систем Морса-Смейла и приведены имеющиеся на сегодняшний день результаты по топологической классификации потоков и каскадов Морса-Смейла.