Структурно устойчивые особенности интегрируемых систем

Интегрируемая гамильтонова система на $2n$-мерном симплектическом многообразии $M$ задается отображением момента $F: M\to \mathbb R^n$ – набором из $n$ гладких функций на $M$, попарно находящихся в инволюции. Возникает лагранжево слоение с особенностями на $M$, слои которого – это связные компоненты множеств {$F=const$}. Отображение момента $F$ порождает гамильтоново $\mathbb R^n$-действие на $M$. Локальной особенностью системы будем называть $\mathbb R^n$-орбиту, в которой $rank(dF)<n$. Локальная особенность (т.е. $\mathbb R^n$-орбита) называется структурно-устойчивой, если в некоторой ее окрестности “возмущенное” отображение момента сопряжено “невозмущенному” при любом достаточно малом интегрируемом возмущении системы. В докладе будут описаны “стандартные” локальные особенности ранга $n-1$. Мы покажем, что при $n=2,3$ локальные особенности, эквивалентные стандартным, "типичны’’ в множестве интегрируемых гамильтоновых систем (ИГС), допускающих локально-свободное действие $(n-1)$-мерного тора. Здесь "типичность’’ означает выполнение двух свойств: (i) структурную устойчивость этих особенностей (относительно малых возмущений в указанном пространстве ИГС), (ii) множество ИГС, имеющих только такие особенности, имеет полную меру в указанном пространстве ИГС (т.е. дополнение к этому множеству имеет меру 0, и даже положительную коразмерность). При $n=2$ результат был получен ранее В.В.Калашниковым (1998), а при $n=3$ является новым. Мы покажем основные шаги доказательства на простых примерах.