Аннотация:
Из групповой структуры рациональных точек на единичной окружности следует, что в некотором естественном смысле они распределены равномерно. Хорошо известная “рациональная параметризация” $\rho:\mathbb R^1\to\mathbb S^1$ единичной окружности
$$
\rho(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{t^2-1}{1+t^2}\right),
$$
которая является обратной стереографической проекцией из верхней точки окружности на абсциссу, задает биекцию между рациональными точками на единичной окружности (кроме самой верхней) и всеми рациональными числами. Это, в частности, является одним из способов описания всех пифагоровых троек.
Также при стереографической проекции равномерная мера на окружности переходит в меру на прямой с плотностью Коши $\frac{c}{1+t^2}$. Тем самым, мы получаем, что в некотором естественном смысле рациональные числа распределены в соответствии с данной плотностью (будет приведена строгая формулировка).
Рациональные числа являются алгебраическими числами степени 1. Целью данного доклада является обобщение описанного выше элементарного наблюдения с плотностью Коши на алгебраические числа произвольной степени $n$ с применением теории нулей случайных полиномов.
Доклад основан на совместной работе
F. Götze, D. Koleda, D. Zaporozhets, “Joint distribution of conjugate algebraic numbers: a random polynomial approach”, Adv. Math., 359 (2020)
Обратная связь: