Эволюционные силовые биллиарды

В последнее время в многочисленных работах с помощью биллиардов были реализованы многие интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы на изоэнергетических 3-поверхностях. Причем, для каждой такой 3-поверхности, т.е. для разных уровней энергии, подбирался свой биллиард. У топологических биллиардов и т.н. "книжек", введенных В.В.Ведюшкиной, энергия материальной точки (биллиардного шара) является всего лишь масштабным параметром, изменение которого не меняет топологию изоэнергетической 3-поверхности. Неоднократно возникал вопрос: можно ли обнаружить новый класс биллиардов, реализующих гамильтонову систему "не по частям", а сразу на всем фазовом 4-многообразии, т.е. на сразу на всех последовательных изоэнергетических 3-поверхностях. Ответ положительный. А.Т.Фоменко обнаружил новый класс биллиардов - силовые или эволюционные. Здесь с изменением скорости шара (силы удара о стенку-границу) может меняться как топология биллиардного стола, так и закон отражения шара. Биллиарды-состояния силового биллиарда зависят от параметра (энергии) и меняются внутри фиксированного «носителя биллиарда». Вот наши результаты.
Первый результат. Оказывается, эволюционные (силовые) интегрируемые биллиарды реализуют (в смысле лиувиллевой эквивалентности) некоторые важные и хорошо известные в приложениях гамильтоновы системы “целиком”, то есть сразу на всем фазовом симплектическом многообразии $M^4$ (за исключением, быть может, сингулярных слоев). Иными словами, сразу на всех регулярных изоэнергетических 3-поверхностях. То есть с ростом энергии h материальной точки биллиардный стол довольно просто и наглядно меняет свою топологию, причем (тоже наглядно) меняются законы отражения-преломления на ребрах биллиарда (на его “изломах”). При этом, шаг за шагом, меняются (тоже достаточно просто) трехмерные уровни постоянной энергии эволюционирующего биллиарда. В результате интегрируемая и эволюционирующая биллиардная система, “живущая” на этих последовательно меняющихся уровнях энергии, шаг за шагом реализует интересующую нас гамильтонову систему из геометрии, топологии, математической физики на всех ее уровнях энергии. В качестве ярких примеров мы “целиком” реализовали системы Эйлера, Лагранжа, а также на подходящем интервале значений энергии реализована система Горячева-Чаплыгина-Сретенского, хорошо известная в динамике тяжелого твердого тела (пока это не полная реализация для этой системы).
Второй результат. Оказывается, при биллиардной реализации в случае Эйлера обнаруживаются, в качестве скрытых параметров, “софокусные квадрики”, а в случае Лагранжа - “скрытые концентрические окружности”. В итоге, естественная и простая деформация софокусных квадрик в окружности (при слиянии фокусов), оказывается, и “превращает” полный набор слоений Лиувилля случая Эйлера в полный набор слоений Лиувилля для Лагранжа. Напомним, что случай Эйлера интегрируем при помощи квадратичного интеграла, а случай Лагранжа - при помощи линейного интеграла. Такое “превращение” квадратично интегрируемой системы в линейно интегрируемую - интересный факт. Мы будем говорить, что в указанном смысле система Эйлера и система Лагранжа “биллиардно эквивалентны”.