Интегрируемые биллиарды с потенциалом и особенности ИГС. Невырожденные положения равновесия и вырожденные орбиты

Как известно, в отсутствие потенциала биллиардными книжками удается моделировать произвольные 3-атомы, т.е. невырожденные полулокальные особенности ранга 1 в ИГС с 2 степенями свободы. При наличие потенциала (например, отталкивающего упругого) кривые бифуркационной диаграммы имеют особые точки с круговыми молекулами, совпадающими с таковыми для известных особенностей ранга 0 (центр-центр, центр-седло и седло-седло) и некоторых вырожденных особенностей.
Мы обсудим вопрос алгоритмической реализации особенностей ранга 0 (в первую очередь, произвольной полулокальной особенности центр-седло и особенности седло-седло типа прямого произведения) с помощью биллиардных книжек с потенциалом Гука. В случае вырожденных особенностей предъявим серию столов, которые реализуют как аналог эллиптической вилки с группой симметрий $\mathbb Z_n$, так и "экзотику" – 4-особенность, слоение которой в вещественно-аналитических системах невозможно.