Неперекрестные разбиения и броуновская экскурсия

В классической теории вероятностей существует известная формула, выражающая $n$-й момент одномерного вероятностного распределения через его кумулянты:
$$ m_n=\sum_{\pi_n}\prod_{B\in\pi_n}\kappa_{|B|}, $$
где сумма берется по всем разбиениям множества $\{1,\dots,n\}$, а произведение – по всем блокам, составляющим разбиение.
В теории свободной вероятности верна аналогичная формула; единственное отличие заключается в том, что сумма берется не по всем, а только по т.н. неперекрестным разбиениям. Разбиение $\pi_n$ называется неперекрестным, если для любых четырех индексов $1\leqslant i<j<k<l\leqslant n$ и блоков $B_1,B_2\in\pi_n$ из соотношений $i,k\in B_1$ и $j,l\in B_2$ следует, что $B_1=B_2$.
Данный факт объясняет значительный интерес к неперекрестным разбиениям, который существует в комбинаторной математике. Одна из естественных задач, которые можно рассмотреть, звучит так: описать поведение “типичного” неперекрестного разбиения при больших $n$. Для более точной формулировки необходимо для фиксированного $n$ на множестве всех таких $\pi_n$ задать какую-нибудь вероятностную меру, например, равномерную. В результате встает вопрос об изучении случайного неперекрестного разбиения. Оказывается, что его асимптотические свойства тесно связаны с поведением такого хорошо изученного объекта, как броуновская экскурсия.
Дополнительно, если позволит время, в докладе пойдет речь о том, как вышеописанная конструкция связана с непрерывным случайным деревом Олдоса (Aldous continuum random tree).