Тонкий шейп

Обычная теория гомотопий и всем известные гомотопические инварианты: гомотопические группы, сингулярные гомологии и когомологии хорошо работают для полиэдров и для ANR'ов. Попытки использовать эти же инварианты для более общих пространств не приводят ни к чему хорошему (см., например, теорему 1.1 и пример 5.6 в [1]). Для них оказывается полезнее рассматривать "комбинаторные" разновидности гомологий и гомотопий, основанные на аппроксимации этих пространств их нервами — полиэдрами (или их окрестностями —- ANR'ами, кому как больше нравится). Хорошо известно, что для метризуемых пространств есть лишь одна разумная "комбинаторная" ординарная теория когомологий — когомологии Чеха (они же когомологии Александера–Спеньера и пучковые когомологии с постоянными коэффициентами) и лишь одна разумная "комбинаторная" ординарная теория гомологий — гомологии Стинрода–Ситникова (они же гомологии Колмогорова–Масси).
Столь же хорошо известно, что для (метризуемых) компактов есть лишь одна разумная "комбинаторная" теория гомотопий, известная как стинродовские гомотопии или сильный шейп (см. [1]). Для некомпактных пространств ситуация до последнего времени была иной. За последние 50 лет было построено множество различных "комбинаторных" теорий гомотопий, которые принято называть теориями шейпов. Однако все они неудовлетворительны: либо это заведомо дефективные теории, не учитывающие функторов lim^p, либо это крайне громоздкие и бесполезные на практике теории, в которых ответы на простейшие вопросы невозможно получить без привлечения дополнительных аксиом теории множеств. Кроме того, теории шейпов, инвариантами которых являются гомологии Стинрода–Ситникова, оказываются отличными от теорий шейпов, инвариантами которых являются когомологии Чеха. Я расскажу о новой, очень просто определяемой теории шейпов метризуемых пространств - тонком шейпе. Она свободна от недостатков предыдущих теорий шейпов и основана на удивительной самодвойственности, благодаря которой её инвариантами оказываются как гомологии Стинрода–Ситникова, так и когомологии Чеха. Результаты, полученные за последний год, позволяют говорить о том, что это и есть единственная разумная теория шейпов для метризуемых пространств.
[1] С. А. Мелихов, “Стинродовские гомотопии”, УМН, 64:3 (2009), 73–166 ( https://arxiv.org/abs/0812.1407 , http://mi.mathnet.ru/umn9284 )