О полных системах функций в биинволюции на классических комплексных алгебрах Ли

Редуктивную алгебру Ли $\mathfrak g$ можно рассматривать как бипуассоново многообразие со скобками $\{\cdot\,,\cdot\}$ и $\{\cdot\,,\cdot\}_a$, для которых $\{f, g\}(x)=(x, [d_x f, d_x g])$ и $\{f, g\}_a (x)=(a, [d_x f, d_x g])$, где $(\cdot\,,\cdot)$ — инвариантное скалярное произведение на $\mathfrak g$, элемент $a$ фиксирован, а $x$ — произвольный элемент. Зададимся вопросом о поиске полной системы функций в биинволюции относительно обеих скобок. Если элемент $a$ регулярен, то ответ даёт метод сдвига аргумента Мищенко–Фоменко. Оказывается, этот метод можно рассматривать как частный случай более общего подхода.
Скобки Пуассона $\{\cdot\,,\cdot\}$ и $\{\cdot\,,\cdot\}_a$ можно рассматривать как кососимметрические билинейные формы $F$ и $F_a$ в пространстве дифференциальных $1$-форм на $\mathfrak g$ с коэффициентами из поля $\mathbb C(\mathfrak g)$. Чтобы найти полную систему функций в биинволюции, достаточно найти базис подпространства, билагранжева относительно форм $F$ и $F_a$, и «проинтегрировать» его по переменной $x$, если это возможно. Для нахождения базиса билагранжева подпространства пара форм $(F, F_a)$ приводится к каноническому виду Жордана–Кронекера.
Доклад посвящён описанию полных систем функций в биинволюции, соответствующих некоторым каноническим базисам пары форм $(F, F_a)$. Для алгебр Ли $\mathfrak{sl}_n$ и $\mathfrak{sp}_{2n}$ ответ получен для всех элементов $a$, для алгебр Ли $\mathfrak{so}_{2n}$ и $\mathfrak{so}_{2n+1}$ будут описаны частичные результаты.