Предельные теоремы для спектра произведения случайных матриц

Пусть для некоторого фиксированного $m\ge 1$ заданы $n=p_0\le p_1\le\cdots\le p_m$. Пусть, далее, $\mathbf X^{(\nu)}=\frac1{\sqrt{p_{\nu-1}}}(X_{jk}^{(\nu)})_{1\le j\le p_{\nu-1},\,1\le k\le p_{\nu}}$ — случайные матрицы с независимыми в совокупности элементами $X_{jk}^{(\nu)}$ с $\mathbf{E}\, X_{jk}=0$ и $\mathbf{E}\,|X_{jk}|^2=1$. Рассмотрим матрицу $\mathbf W=\prod_{\nu=1}^m\mathbf X^{(\nu)}$, и пусть $\mathbf{\Sigma}=\mathbf W\mathbf W^*$. Обозначим $\mathcal F_n(x)$ эмпирическую спектральную функцию распределения матрицы $\mathbf{\Sigma}$, а $F_n(x)=\mathbf{E}\,\mathcal F_n(x)$. В предположении, что $\lim_{n\to\infty}\frac{p_{\nu}}n=y_{\nu}$, доказано, что $F_n(x)$ сходится к предельному распределению $G(x)$, преобразование Стилтьеса которого удовлетворяет уравнению
\begin{equation*} 1+zS(z)-S(z)\prod_{\nu=1}^{m}(1-y_{\nu}-y_{\nu}zS(z))=0. \end{equation*}
В случае $y_1=\cdots=y_m$ моменты распределения $G(x)$ — числа Фусса–Каталана с параметром $m$, $M_m(p)={{mp+p}\choose{p}}$.
Для квадратных матриц $p_{\nu}=n$ для всех $\nu=1,\dots,m$ в предположении конечности только второго момента у элементов матрицы показано, что эмпирическая спектральная мера $\mu_n$ матрицы $\mathbf W$ сходится к предельному распределению в единичном круге комплексной плоскости с плотностью $p(x,y)=\frac1{\pi m(x^2+y^2)^{\frac{m-1}m}}$. В докладе будет обсуждаться также предельная мера для $\mu_n$ и для прямоугольных матриц.