Однородные геодезические в субримановой геометрии

Субриманово многообразие — это гладкое многообразие, в касательном пространстве которого в каждой точке выбрано подпространство допустимых скоростей с евклидовой структурой на нем. Эти подпространства и евклидовы структуры гладко зависят от точки многообразия. Допустимой кривой называется кривая с допустимыми скоростями. Таким образом, можно определить длину допустимой кривой (с помощью введенных евклидовых структур), а затем искать кратчайшие (оптимальные) кривые. Геодезические — это кривые, достаточно малые отрезки которых являются кратчайшими. Cубриманова геометрия естественно возникает в механических задачах с неголономными связями (т.е. с ограничениями на допустимые скорости), а также в ряде других приложений.
Субриманова геодезическая называется однородной, если существует однопараметрическая группа изометрий, которая осуществляет сдвиг вдоль геодезической. Такие геодезические имеют ряд замечательных свойств (простая параметризация, независимость сопряженного времени и времени разреза от выбора начальной точки). Будут рассмотрены примеры. Будут обсуждаться следующие вопросы: 1. Критерий однородности геодезической в терминах начальных импульсов. 2. Существование однородных геодезических. 3. В каких случаях все геодезические субриманова многообразия однородны? Оказывается, что для нильпотентных субримановых задач это может быть выполнено только в случае ступеней 1 и 2. 4. Интегрируемость геодезического потока в случае однородных геодезических.