Проективные тайлинги и совершенные коды полного ранга

Тайлингом конечного векторного пространства $R$ над GF$(q)$ называется пара $(U,V)$ его подмножеств (каждое из которых называется тайлом) такая, что $|U|\cdot|V|=|R|$ и $U\cdot V=R$. В случае, когда каждое из множеств $U$, $V$ имеет полный ранг (то есть, его аффинная оболочка совпадает со всем пространством), тайлинг называется полноранговым. Тайл назовем проективным, если он является объединением одномерных подпространств, а тайлинг проективный (полупроективный), если оба тайла (хотя бы $V$) является проективным. Каждому тайлингу с проективным $V$ полного ранга соответствует $1$-совершенный код длины $|V|/(q-1)$. При этом если $U$ также полного ранга, то и код получается полного ранга. Адаптируя известную конструкцию [Szabo] тайлингов полного ранга, можно для любого $q>2$ построить полупроективные тайлинги полного ранга в $6$-мерном пространстве и проективные тайлинги полного ранга в $10$-мерном пространстве. В частности, существует троичный $1$-совершенный код длины $13$ полного ранга с ядром (множеством периодов) размерности $7$. Свитчингами из него удается получить коды полного ранга с меньшей размерностью ядра, $6$, $5$, $4$, $3$.

Список литературы

1. Sándor Szabó, “Constructions Related to the Rédei Property of Groups”, J. London Math. Soc., II Ser., 73:3 (2006), 701–715      
2. Sterre den Breeijen, Tilings Of Additive Groups, Master’s Thesis, Radboud University Nijmegen, 2018 https://www.math.ru.nl/~bosma/Students/SterredenBreeijenMSc.pdf
3. Sándor Szabó, “Full-Rank Factorings of Elementary p-Groups by $Z$-Subsets”, Indagationes Mathematicae, 24:4 (2013), 988–995