О распределении локального времени скошенного броуновского движения и его дискретного аналога

Пусть $Z=(Z_k)_{k\geq 0}$ — однородная марковская цепь со счетным множеством состояний $E=\{i_0,\,i_1,\,\dots\}$. Введем случайную величину $N_n(a)=\sum_{k=0}^n\mathbb{I}(Z_k=a)$ для $a\in E$, и пусть $\tau_b=\inf\{k>0:\,Z_k=b\}$ — момент первого попадания цепи в состояние $b\in E$. Показано, что распределение вероятностей случайной величины $N_{\tau_b}(a)$ будет геометрическим с массой в нуле.
В качестве применения данного результата рассматривается скошенное случайное блуждание $S^{\alpha}=(S^{\alpha}_k)_{k\geq 0}$, $\alpha\in [0,1]$. С помощью обобщенного принципа инвариантности делается предельный переход к локальному времени скошенного броуновского движения $W^{\alpha}=(W^{\alpha}_t)_{t\geq 0}$, а именно
$$ n^{-1/2}N_{\tau_{\lceil b\sqrt{n}\,\rceil}}(\lceil a\sqrt{n}\,\rceil) \stackrel{d}{\longrightarrow}L_{\tau_b}^a(W^{\alpha})\text{ при } n\to\infty. $$
Устанавливается, что локальное время $L_{\tau_b}(a)$ имеет экспоненциальное распределение (с массой в нуле).