О распределении случайного собственного числа матриц Лапласа для графена и нанотрубок

Совместно с А. Билле (Сколтех, Москва- Ulm University), В. М. Бухштабером (МИ им. В.А.Стеклова РАН, Москва), С. Кост (ENS, Paris).
Современные нанотехнологии используют углеродные графены и фуллерены. За синтез фуллерена С60 R. Curl, H. Kroto и R. Smalley были удостоены Нобелевской премии по химии в 1996 г. За синтез графена А.К. Гейм и К.С.Новосёлов были удостоены Нобелевской премии по физике за 2010 г. Математической моделью графена служит гексагональное разбиение двумерной плоскости, математический фуллерен - это простой выпуклый 3-многогранник с n>= 20 вершинами, 12 граней которого являются пятиугольниками, а все остальные грани - шестиугольниками. Особенными свойствами среди фуллеренов обладают, так называемые, нанотрубки, которые получаются из $(p,q)$-графеновой трубки, закрытой двумя шапочками, содержащими по 6 пятиугольников. Число комбинаторно различных фуллеренов с n вершинами растёт как $О(n^9)$, поэтому комбинаторная классификация фуллеренов является нетривиальной математической проблемой, решение которой важно для синтеза фуллеренов с интересными физико-химическими свойствами.
В докладе обсуждаются спектры матриц, которые несут полную информацию о комбинаторной структуре фуллеренов. Речь идёт о матрицах типа a $А + b B$, где $а$ и $b$ действительные числа, $А$ - матрица связей графа вершин или граней фуллерена или нанотрубки при неограниченном росте числа вершин, $B$ - диагональная матрица, на диагонали которой стоят валентности узлов графа. Мы докажем предельные теоремы о поведении случайных собственных чисел этих матриц для $а=1, b=1/2$ в случае графена и нанотрубок с хиральным векторoм $(p,q)$. Предельные законы распределения описываются плотностями (для графена) или же характеристическими функциями (для нанотрубок), доказательства сходимости используют метод моментов.