Фреймы Габора для рациональных функций

Пусть $g$ – функция из пространства $L^2(\mathbb{R})$. Обозначим через $G_\Lambda$, $\Lambda\subset R^2$, систему частотно-временных сдвигов $g$, $G_\Lambda=\{e^{2\pi i \omega x}g(x-t)\}_{(t,\omega)\in\Lambda}$. Типичный пример $\Lambda$ – прямоугольная решетка $\Lambda_{\alpha, \beta}:= \alpha\mathbb{Z}\times\beta\mathbb{Z}$. Одна из главных проблем анализа Габора – описание фрейм-множества для $g$, т.е. описание всех пар $\alpha, \beta$, для которых система $G_{\Lambda_{\alpha,\beta}}$ – фрейм в $L^2(\mathbb{R})$.
Хорошо известно, что условие $\alpha\beta \leq 1$ необходимо.
Все ли такие пары $\alpha, \beta $ лежат в фрейм- множестве $g$? Как описать фрейм множества?
До 2011 года полный ответ был известен лишь для нескольких функций ( с точностью до сдвигов растяжений и преобразования Фурье). В 2011 году К. Грохениг и И. Стоклер расширили этот набор до тотально положительных функций конечного типа. Позднее удалось добавить сюда тотально положительные функции конечного гауссовского типа.
Мы предлагаем другой подход к проблеме и доказываем, что рациональные функции типа Герглотца тоже дают полное фрейм-множество. Также нам удалось доказать гипотезу Добеши (опровергнутую в общей постановке Янсеном) для рациональных функций и иррациональных плотностей.
Помимо этого удалось полностью описать фрейм множества для произвольной линейной комбинации двух ядер Коши и описать нерегулярные прямоугольные решетки, порождающие фрейм, для одного ядра Коши.
Доклад основан на совместных работах с А.Куликовым и Ю.Любарским.