Оценки взвешенных коротких сумм Клоостермана

Неполной взвешенной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$ S(x, m;a, b) = \sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m) = 1}}{ f(\nu)\exp\Big(2\pi i \frac {a\overline{\nu} + b\nu}{m}\Big)}, $$
где $1 < x < m$, $f(\nu)$ – некоторая арифметическая функция, $m$, $a$, $b$ – целые числа, а через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $m$: $\nu \overline{\nu} \equiv 1 \pmod{m}$.

В докладе будет рассказано о новых оценках неполных взвешенных сумм Клоостермана, справедливых для простого модуля $m\geqslant m_0$ и целого $a$, $(a,m)=1$, в случае, когда длина суммы $x$ удовлетворяет неравенствам
$$ \exp(c(\ln m)^{2/3}(\ln\ln m)^{4/3}) \leqslant x \leqslant \sqrt{m},\quad c>0. $$
В качестве весовой функции рассматривается функция Мёбиуса, многомерная функция делителей, характеристическая функция множества чисел, представимых в виде суммы двух квадратов целых чисел, а также характеристическая функция множества бесквадратных чисел. Оценки столь коротких сумм Клоостермана с весами опираются на разработанный в 1990-е гг. метод Анатолия Алексеевича Карацубы [1], [2]. Полученные оценки уточняют результат, полученный в 2010 г. М.А. Королёвым [3].

[1] А.А. Карацуба, Дробные доли специального вида функций, Изв. РАН. Сер. матем., 59 (1995), № 4, c. 61–80.

[2] А.А. Карацуба, Аналоги сумм Клоостермана, Изв. РАН. Сер. матем., 59 (1995) № 5, c. 93–102.

[3] М.А. Королёв, Короткие суммы Клоостермана с весами, Матем. заметки, 88 (2010), № 3, c. 415–427.