Арифметические тригонометрические полиномы в рациональных точках малой высоты

После краткого обзора основных идей исходного доказательства И.М. Виноградова теоремы о трёх простых числах мы перейдём к недавним результатам, полученным совместно с Г. Каси Висванадхам. В частности, будет предъявлено некоторое семейство билинейных форм, возникающих при работе с суммами по простым числам или с взвешенными суммами с весом в виде функции Мёбиуса. Такие формы естественным образом возникают в задаче нахождения явных оценок для суммы вида
$$ \sum\limits_{X\,<\,p\,\leqslant\, X+X^{9/10}}e(pa/q) $$
с произвольным $q\leqslant X^{1/10}$. Наш метод является достаточно гибким. Он применим и в ряде других задач, которых мы коснёмся в докладе, если позволит время.