Положительность сумм характеров и случайные мультипликативные функции

Квадратичные характеры и их $L$-функции занимают особое место в аналитической теории чисел, поскольку их поведение оказывается тесно связано с общими вопросами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с большой разностью. В данном докладе мы представим результаты о положительности сумм вида
$$ S_p(N)=\sum_{n\leq N}\left(\frac{n}{p}\right), $$
где $p$ — большое простое число. В частности, для некоторых значений $\alpha$ мы покажем, что суммы $S_p(\alpha p)$ неотрицательны для большинства простых чисел $p$, а также поговорим о свойствах множества $\mathcal L^+$ таких простых $p$, что $S_p(N)\geq 0$ для всех $N$. Получающиеся результаты будут связаны со свойствами случайных мультипликативных функций и их рядов Дирихле на границе и в центре критической полосы, а также с распределением нулей $L$-функций Дирихле.