Формула следа. Случай компактной фактор-группы

Пусть $\Gamma$ — дискретная подгруппа локально компактной группы $G$. Пусть $\chi(\gamma)$ — неприводимое унитарное конечномерное представление группы $\Gamma$. Пусть $T(g)$ — унитарное представление группы $G$, индуцированное с подгруппы $\Gamma$. В случае, когда фактор $\Gamma \setminus G$ компактен, представление $T(g)$ распадается в дискретную сумму счетного числа неприводимых унитарных представлений. Простейший вариант формулы следа связывает следы представлений $T(g)$ и $\chi(\gamma)$ как обобщенные функции на $G$ и $\Gamma$ соответственно:
$$ \int_F \biggl(\sum_{\gamma\in\Gamma}f(g^{-1} \gamma g) \, \operatorname{Tr}(\chi(\gamma)\biggr)\,dg =\int_Gf(g)\,\operatorname{Tr}(T(g))\,dg. $$
Здесь $F$ — фундаментальная область $\Gamma \setminus G$, а функция $f(g)$ — произвольная тестовая функция, удовлетворяющая некоторым техническим условиям. Для компактных групп $G$ эта формула уже дает возможность посчитать кратность данного неприводимого представления внутри $T(g)$.
Далее предполагается описать неприводимые представления группы $SL_2(R)$ и вывести расширенный вариант формулы следа для дискретной подгруппы в группе $SL_2(R)$.
В случае $G=SL_2(R)$ для подсчета кратностей неприводимых подпредставлений полезно перейти от $f$ к ее преобразованию Фурье $h(\sigma)=\int_G f(g)\sigma(g)\,dg$. Из полученной громоздкой формулы можно вывести формулу для кратностей представлений дискретной серии и асимптотическую формулу для представлений непрерывной серии.
Доклад основан на 6-м выпуске «Обобщенные функции» Гельфанда, Граева, Пятецкого-Шапиро.