Доказательство Гаусса основной теоремы алгебры. Семинар 1

В 1799 году двадцатидвухлетний математик Карл Фридрих Гаусс опубликовал свою диссертацию. В ней он предложил «первое строгое доказательство» Основной Теоремы Алгебры (точнее показал, что каждый вещественный многочлен раскладывается в произведение многочленов степени один и два). Это утверждение было известно в качестве гипотезы на протяжении двухсот лет, а во второй половине восемнадцатого века было изобретено несколько идей его доказательства. Все они содержали пробелы, разбор которых занимает больше половины небольшого текста [G].
В наше время легко понять, почему крупнейшим математикам того времени не удавалось полностью доказать ОТА. Любое такое доказательство должно содержать топологическую аргументацию, недоступную вплоть до появления работ Коши. Создание топологии в девятнадцатом веке позволило легко формализовать различные идеи доказательства, и теперь их понимание доступно любому младшекурснику (см. обзор в [ТУ]). В нашем курсе мы хотим познакомить слушателей с аргументом из [G] (точнее, с современной его реконструкцией [S]). Он не является самым прямым или простым доказательством ОТА. Однако, этот путь позволит нам познакомится с несколькими красивыми разделам топологии и геометрии.
Гаусс воспользовался нестандартным для своего времени геометрическим взглядом на комплексные числа и представил ОТА как утверждение о пересечении двух вещественных алгебраических кривых. Алгебраическая кривая это множество нулей многочлена от двух переменных. Гаусс использует без доказательства нетривиальные утверждения о кривых на плоскости. Чтобы заполнить его пробелы достаточно элементарных рассуждений (см. например [SV]), мы же попробуем продвинуться дальше, и обсудим алгебраические кривые с разных точек зрения.

Программа курса

• Мы начнём с самого базового знакомства с Основной Теоремой Алгебры и приведём несколько современных идей ее доказательства. Мы обсудим идею Гаусса и заполним, следуя Островскому, один из пробелов в его доказательстве.
  
• Чтобы довести доказательство Гаусса до конца, нам придётся доказать теорему Жордана. Мы обсудим это утверждение, его следствия, и по дороге изучим несколько топологических конструкций.
  
• После этого мы вернёмся к идее Гаусса и рассмотрим поподробнее понятие алгебраической кривой. Мы докажем одно очень естественное утверждение об их локальном строении, которое возникает в [G] и которое не давалась математикам на протяжении всего 19 века.
  
• Если останется время, на последней лекции мы опишем локальное разложение алгебраической кривой на ветви, вооружившись алгоритмом Ньютона нахождения решений алгебраических уравнений от двух переменных. Мы докажем теорему Пьюзьё, являющуюся естественным обобщением замечания Гаусса.
  

Пререквизиты
В большой части курса (кроме, возможно, последней лекции) мы будем использовать только элементарные понятия из топологии, алгебры и анализа, знакомые любому младшекурснику или матшкольнику. Все вспомогательные утверждения из этих областей будут по возможности доказаны. Все лекции будет практически полностью независимы друг от друга.
Этот курс был вдохновлён прекрасной книгой Этьена Жиса [Ж] (см. главы 5-9 и 11). Хочется порекомендовать ее всем участникам школы вне зависимости от посещения данного курса.

Ссылки

• [G] C. F. Gauss. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Перевод на английский.
  
• [ТУ] Тихомиров, Успенский. Десять доказательств основной теоремы алгебры.
  
• [S] S. Smale. The fundamental theorem of algebra and complexity theory.
  
• [SV] Soham Basu, Daniel J. Velleman. On Gauss's first proof of the fundamental theorem of algebra.
  
• [Ж] Этьен Жис. Математическая прогулка с осмотром особенностей.