Игра в пинг-понг с теннисным мячом: замощения аффинного пространства. Семинар 1

Все вы, вероятно, много раз видели периодические замощения евклидова пространства — на обоях, паркетах, кирпичных стенах, пчелиных сотах (в двумерном случае) и в кристаллах (в трёхмерном случае). Каждое такое замощение обладает группой симметрий, элементы которой являются евклидовыми изометриями и переводят плитки замощения друг в друга; и изучение этих групп является ключевым этапом для изучения самих замощений. Эти группы на настоящий момент хорошо известны, и для малой размерности полностью классифицированы: существует 17 таких групп в двумерном случае («группы орнамента») и 219 групп в трёхмерном случае («кристаллографические группы»). Все они обладают общим свойством, известным как теорема Бибербаха: любая такая $n$-мерная группа содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную $\mathbb{Z}^n$. В частности, это значит, что она «почти» абелева.
Рассмотрим теперь группы аффинных (не обязательно евклидовых) преобразований — то есть преобразований, сохраняющих прямые линии и параллельность, но необязательно расстояния и углы — которые действуют вполне разрывно (или, что почти то же самое, которые являются группой симметрий некоторого локально конечного замощения). В 1983 году Маргулис сделал открытие, которое поразило математическое сообщество: оказывается, существуют такие группы (в трёхмерном пространстве), которые являются свободными. Иными словами, двойственный граф соответствующего замощения является бесконечным деревом. (Правда, плитки замощения при этом имеют бесконечный объём. Для компактных плиток высказывается предположение, что такого быть не может — это так называемая гипотеза Ауслендера, которая уже более 50 лет как остаётся открытой.)
Главная цель этого курса — дать подробное геометрическое описание этих групп, а также их обобщений (открытых немного позже) на размерность $4k+3$.