Проективная геометрия для школьников. Семинар 1

Удивительным образом в современной школьной программе отсутствуют основы проективной геометрии при том, что математический анализ представлен достаточно внушительно: от школьников требуется и производные уметь вычислять (зачастую не представляя себе что это на самом деле такое), и интегралы основных функций знать (оставляя за скобками тот факт, что интегрируют вообще-то не функции, а формы). В 19 веке ситуация с математическим образованием была иной: будущий Святитель Игнатий (Брянчанинов) в инженерной школе проходил основы проективной геометрии, о чем можно узнать из его позднейших богословских трудов. А именно, говорится там о том, что в видимой конечной части пространства линии могут казаться непересекающимися, однако где-то за горизонтом они все-таки сойдутся в невидимой земному глазу точке. Классическая традиция преподавания (смотри, например, учебник Адамара по геометрии) предполагает в качестве источника проективной геометрии известные теоремы Дезарга, Паппа, Паскаля, Брианшона, и именно в таком виде она появлялась и проявлялась в системе образования.
Мы хотели бы восполнить этот пробел и обсудить простые сюжеты из проективной геометрии. Наш изначальный посыл будет таким: проктивное пространство возникает как естественное пополнение аффинного пространства, которое делает мир более однородным. Например, если рассмотреть пару кривых на аффинной плоскости, задаваемых полиномиально, и задаться вопросом о том, сколько точек пересечения имеется, то ответ существенно зависит от “типичности” кривых. Простейший случай — пары прямых, которые в общем случае пересекаются в одной точке, но при этом прямые могут и не пересекаться. Более сложный случай — кривые степени 2; теорема Безу подсказывает, что точек пересечения должно быть 4, однако две окружности пересекаются по паре точек или не пересекаются вовсе (случай концентрических окружностей). Таким образом, для аффинной плоскости ответы существенно зависят от их взаимного расположения, как в простейшем случае пары прямых. Проективная геометрия отличается прежде всего однородностью ответов, однако при этом сама по себе требует однородности соответствующих полиномов для того, чтобы кривые на проективной плоскости были бы корректно определены.
Мы обсудим разные подходы к определению проективных пространств, прилагая простые геометрические наблюдения, помогающие представить себе наглядно как сами эти пространства, так и их естественные подмножества, называемые алгебраическими многообразиями. Одним из базовых понятий в проективной геометрии является двойственность, и мы обсудим простейшие примеры двойственных объектов. Наконец, мы обсудим основные свойства двумерной квадрики в трехмерном комплексном проективном пространстве и решим одну из классических задач исчислительной геометрии.