Аннотация:
Рациональные танглы Конвея — это переплетения двух канатов, которые 4 человека с двумя
канатами могут станцевать из «начальной позиции» с помощью движений «твист» и
«поворот»:
По каждому танглу можно определить рациональное число — инвариант тангла относительно
естественного отношения эквивалентности (два тангла эквивалентны, если один можно
получить из другого, двигая канаты, но не меняя положения их концов). У твистов и поворотов
есть и другие инкарнации — можно определить их действие на полуокружностях диаграммы
Фарея и на параллелограммах с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Всё это примеры
действия модулярной группы. В курсе планируется подробно разобрать все приведённые
выше примеры, изучить их взаимосвязи и попутно познакомиться с важными
математическими объектами, такими как модулярная группа.
Программа курса
Как станцевать тангл Конвея и построить его полный инвариант. Узлы, танглы и
зацепления: зачем Конвей придумал танглы.
Диаграмма и дроби Фарея. Комплексная плоскость и её дробно-линейные
преобразования. Связь диаграммы Фарея с разложением рационального числа в
цепную дробь.
Параллелограммы на клетчатой бумаге. Линейные отображения плоскости и
преобразования решётки. Модулярная группа.
Как склеить тор из плоскости с решёткой. Связь между параллелограммами и танглами:
естественная конструкция инвариантов танглов.
Пререквизиты: курс ориентирован на
школьников, и не предполагает никаких знаний, выходящих за рамки стандартной школьной
программы.
Обратная связь: