Спектральные преобразования в теории солитонов. Лекция

Область математики и математической физики, назваемая теорией солитонов (или теорией интегрируемых систем) возникла в середине 1970-х годов. Вернее, в эти годы она сделала первые шаги в своем развитии. Интегрируемость — это противоположность хаосу, который в то время считалось типичным для поведения любой нелинейной системы. Открытие существования бесконечного набора сохраняющихся величин (интегралов), которые не позволяют развиться хаотическому поведению, у уравнения Кортевега-де-Фриза привело к революционным изменениям в представлении о поведении ряда фундаментальных моделей теоретической и математической физики.
Современный аппарат теории интегрируемых систем использует идеи и методы спектральной теории операторов, теории представлений алгебр и групп Ли и их квантовых обобщений, алгебраической геометрии. Приложения этой теории далеко вышли за рамки первоначальной задачи нахождения решений волновых уравнений. Одним из наиболее ярких примеров применения структур теории интегрируемых уравнения явилось открытие того, что производящие функции различных (классических и квантовых) инвариантов многообразий удовлетворяют уравнениям базовых интегрируемых иерархий.
При всем многообразии интегрируемых систем, есть универсальные черты их объединяющие — представление Лакса (и его обобщения), а среди методов их решения наиболее фундаментальным является понятие спектрального преобразования.