Линкоиды и их примарные разложения

Пусть $F$ — ориентируемая поверхность, $L = a_1\sqcup\ldots\sqcup a_n\sqcup c_1\sqcup\ldots\sqcup c_m$ — набор дуг $a_i$, $i\in\{1, \ldots, n\}$, и замкнутых кривых $c_j$, $j\in\{1, \ldots, m\}$. Линкоидом на поверхности $F$ называется такое вложение $L$ в утолщение $F\times I$, что, во-первых, $\partial a_i\subset \partial F \times I$ для всех $i\in\{1, \ldots, n\}$, причём каждое из колец $\partial F\times I$ содержит не более одной концевой точки всех дуг $a_i$, $i\in\{1, \ldots, n\}$, и, во-вторых, $c_j\subset Int (F\times I)$ для всех $j\in\{1, \ldots, m\}$.
Подобно классическим узлам и зацеплениям, линкоиды удобно задавать своими диаграммами на поверхности $F$. Каждая такая диаграмма состоит из нескольких замкнутых кривых и собственных дуг. Диаграммы рассматриваются с точностью до трёх классических движений Рейдемейстера, локальные области действия которых не содержат край поверхности $F$, а также с точностью до гомеоморфизмов поверхности $F$.
На множестве линкоидов можно ввести несколько естественных операций связного суммирования. Во многих случаях удобно использовать обратные к этим операциям преобразования редукций, в результате применения которых каждый линкоид разбивается на несколько более простых: $S_2$-редукция выполняется вдоль разбивающей сферы, ограничивающей шар с заузленной дугой линкоида, $A_0$-редукция (дестабилизация) выполняется вдоль послойного неразбивающего кольца, которое не пересекается с кривыми линкоида, $A_1$-редукция выполняется вдоль послойного разбивающего кольца, которое пересекается с кривыми линкоида ровно в одной точке, $A_2$-редукция выполняется вдоль послойного разбивающего кольца, которое пересекается с кривыми линкоида ровно в двух точках, $A_{1, 1}$-редукция выполняется вдоль пары неразбивающих послойных колец, каждое из которых пересекается с кривыми линкоида ровно в одной точке, а вместе эти кольца разбивают утолщение $F\times I$.
Можно доказать, что к любому линкоиду применимо лишь конечное число $S_2, A_0, A_1, A_2, A_{1, 1}$-редукций. Однако конечный результат не всегда однозначно определён и может зависеть от последовательности используемых редукций. Например, существует линкоид на поверхности рода 3, который с помощью $S_2, A_1$-редукций можно свести к двум разным наборам примарных, то есть далее не редуцируемых, линкоидам. Если к используемому множеству редукций добавить $A_0$-редукцию, то для любого линкоида его конечный результат редукций оказывается однозначно определённым и не зависящим от того, какие редукции выполнялись.