Гипотеза о прямоугольных узлах и объемы прямоугольных многогранников

Гиперболическое зацепление называется прямоугольным, если дополнение к нему, как гиперболическое 3-многообразие, допускает разбиение на прямоугольные (все двугранные углы равны $\pi/2$)) многогранники. Примерами прямоугольных зацеплений являются двухкомпонентное зацепление Уайтхеда и трехкомпонентное зацепление Борромеевы кольца. Дополнение к зацеплению Уайтхеда можно склеить из одного прямоугольного идеального октаэдра, а дополнение к Борромеевым кольцам – их двух таких октаэдров. В [1] высказана «гипотеза о прямоугольных узлах»: никакой гиперболический узел не является прямоугольным. Мы покажем, что сравнение объемов гиперболических узлов и объемов прямоугольных идеальных многогранников с идеальными вершинами (см. [2,3]) позволяет утверждать, что гипотеза верна для узлов малого порядка. Также будет показано, как объемы прямоугольных идеальных многогранников возникают в гипотезе о максимальном объеме гиперболического многогранника заданного комбинаторного типа [4].