О построении внешних оценок множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями на управляющее воздействие

Множества достижимости и их аналоги играют важную роль в решении многих задач теории управления и дифференциальных игр. Для нелинейных управляемых систем точное описание множеств достижимости, как правило, невозможно. В данной работе рассматривается задача построения внешних оценок множеств достижимости в виде множества уровня некоторого аналога функции Ляпунова для нелинейной управляемой системы с интегральным ограничением на управление. В терминах интегральных ограничений часто формулируются, например, условия ограниченности запаса энергии, ресурса топлива для объекта управления. Для систем с геометрическими ограничениями на управляющее воздействие известны методы приближенного построения множеств достижимости (см., например, [1-3]), основанные на оценках решений дифференциальных неравенств Гамильтона-Якоби. Схема, предложенная в [3], была перенесена в работе [4] на случай нелинейных управляемых систем с ограничением на управление в пространстве $\mathbb{L}_p\,(p>1)$, для множеств достижимости которых были получены оценки в виде множеств уровня аналогов функций Ляпунова. В линейном случае предлагается возможность улучшения оценок по схеме работы [4], путем добавления времени в число аргументов квадратичной функции Ляпунова, где матрица коэффициентов этой функции, получаемая как решение некоторого матричного уравнения Бернулли (частный случай уравнения Рикатти), связанное с грамианом управляемости исходной системы, определяет динамику оценивающего эллипсоида. При надлежащем выборе начальных значений можно получить сколь угодно точную аппроксимацию (в метрике Хаусдорфа) множества достижимости. Приводятся результаты численного моделирования для ряда нелинейных систем 2-го порядка.
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в региональном научно-образовательном центре НОЦ ИММ УрО РАН, «Уральский математический центр».