Экстремальные события в феноменологических нейронных сетях с различными типами связей

Экстремальные события (ЭС) – редкие и непредсказуемые события, амплитуда которых превышает критический уровень. Один из ярких примеров ЭС в нейронауке – эпилептические припадки.
В данной работе мы изучаем влияние электрических связей на ЭС и хаотическую динамику в минимальном ансамбле двух пачечных нейронов Хиндмарш-Роуз с химическими и электрическими связями связями.

\begin{equation}\label{Sem_eq1} \begin{cases} \dot x_i = y_i + bx_i^3 - ax_i^3 - z_i + I - k_i(x_i - v_s)\Gamma(x_j) + k(x_j - x_i)\\ \dot y_i = c - dx_i^2 - y_i\\ \dot z_i = r[s(x_i - x_R) - z_i]\\ i, j = 1, 2\ (i \neq j) \end{cases} \end{equation}

Химические синаптические связи описываются слагаемым $k_i(x_i - v_s )\Gamma(x_j )$, где $\Gamma(x)$ – сигмоидная функция. Параметры $k_{1,2}$ отвечают за силу химических связей и являются управляющими параметрами в системе. С их помощью мы можем симулировать различные типы воздействия: тормозящее ($k_{1,2}<0$), возбуждающее (($k_{1,2}>0$) и смешанное ($k_1$ и $k_2$ разных знаков). Электрическая синаптическая связь описывается слагаемым $k(x_j- x_i)$, где $k$ отвечает за силу связи.
Для данной системы были найдены диапазоны управляющих параметров связей, при которых в системе наблюдаются ЭС. Такие ЭС представляют собой спайки, наблюдающиеся в ходе временной эволюции переменной $x_{II} = x_1 + x_2$, амплитуды больше уровня $H_s = \mu + 6\sigma$, где $\mu$ – среднее, а $\sigma$ – стандартное отклонение.
Было показано, что существование ЭС при $k=0$ связано с феноменом гиперхаоса. При увеличении силы электрической связи $k$ до некоторого порогового значения сначала разрушается гиперхаотический режим, затем хаотический режим становится регулярным. При достаточно сильной электрической связи элементы демонстрируют синфазную пачечную активность. Таким образом, добавление слабой электрической связи приводит к сокращению областей устойчивости ЭС и возникновению регулярных режимов. При этом для значений сил связей может из некоторого диапазона может наблюдаться хаотическая активность, не приводящая к возникновению ЭС, которая исчезает при дальнейшем увеличении силы электрической связи.

Работа выполнена в рамках Программы развития регионального научно-образовательного математического центра «Математика технологий будущего», проект №075-02-2020-1483/1.