О свойствах операторов типа $L$-свертки

Пусть $\mathcal{L}$ самосопряженный оператор порожденный дифференциальным выражением $(\ell y)(x)=-y^{\prime\prime} (x) +v(x) y(x)$, $x\in \mathbb{R}$, где вещественный потенциал $v$ удовлетворяет условию
$$\int\limits^{\infty}_{-\infty} (1+|x|) |v(x)|\, dx<\infty .$$

Операторы $J, U_\mp, U: L_2 (\mathbb{R})\to L_2 (\mathbb{R})$ определим по формулам:
\begin{align*} & (Jy)(x)=y(-x),\\ & (U_\mp y)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits^\infty_{-\infty} u^\mp (x,\lambda) y(x)\, dx ,\\ & U=m(\chi_+) U_- +m(\chi_-) JU_+ , \end{align*}
где функции $u^\mp$ строятся с помощью соответствующей нормировки решений Йоста уравнения $\ell y=\lambda^2 y$, $m(\chi_\pm)$ операторы умножения на характеристические функции $\mathbb{R}_\pm$.
Оператор $U$ является частичной изометрией и в случае $v=0$ совпадает с преобразованием Фурье.
Заменой в определении свертки преобразования Фурье на оператор $U$ вводится понятие оператора $\mathcal{L}$-свертки. Соответствующим образом вводятся также понятия оператора $\mathcal{L}$-Винера-Хопфа и оператора $\mathcal{L}$-Ганкеля. Рассматриваются вопросы связанные с фредгольмовостью и обратимостью этих операторов.